Lecture 8 (Boolean Algebara)
Boolean Operations and Expressions (불 대수 연산)
Boolean Addition (덧셈)
덧셈은 OR 연산과 동일합니다.
ex) variables(A, B, C, D) Make A + 'B + C + D' equal to 0 (변수 A, B, C, D)를 0으로 만드세요.
A = 0 A=0
B' = 0 => B = 1
C = 0 C = 0
D' = 0 D = 1
Boolean Multiplication (곱셈)
곱셈은 AND 연산과 동일합니다.
ex) variables(A, B, C, D) Make AB'C'D equal to 1 (변수 A, B, C, D)를 1으로 만드세요.
A = 1 A = 1
B' = 1 => B = 0
C = 1 C = 1
D' = 1 D = 0
Laws and Rules of Boolean Algebara (불 대수 법칙)
Commutative Law (교환 법칙)
교환법칙은 3개의 변수에 대해서 성립합니다.
A + B = B + A
AB = BA
Associative Law (결합 법칙)
결합 법칙은 3개의 변수에 대해서 성립합니다.
A + (B + C) = (A + B) + C
A(BC) = (AB)C
Distributive Law (분배 법칙)
분배 법칙은 3개의 변수에 대해서 성립합니다.
A(B + C) = AB + AC
Rule 1 : A + 0 = A
OR Gate에서 0이 1개라도 들어오면 출력으로 변수 그 자체가 나옵니다.
Rule 2 : A + 1 = 1
OR Gate에서 1이 1개라도 들어오면 출력으로 1이 나옵니다.
Rule 3 : A · 0 = 0
AND Gate에서 0이 1개라도 들어오면 출력으로 0이 나옵니다.
Rule 4 : A · 1 = A
AND Gate에서 1이 한개라도 들어오면 출력으로 변수 그 자체가 나옵니다.
Rule 5 : A + A = A
OR Gate에서 변수가 둘이 서로 같은게 인풋으로 들어오면 항상 그 변수가 출력됩니다.
Rule 6 : A + A' = 1
OR Gate에서 입력의 변수가 서로 보수 이면 아웃풋으로 항상 1이 출력됩니다.
Rule 7 : A · A = A
AND Gate에서 변수가 서로 같은게 인풋으로 들어오면 항상 그 변수가 출력됩니다.
Rule 8 : A · A' = 0
AND Gate에서 변수가 서로 보수이면 아웃풋으로 항상 0이 출력됩니다.
Rule 9 : A'' = A
변수에 이중 보수를 취해주면 항상 변수가 됩니다.
Rule 10 : A + AB = A
A + AB
= A · 1 + AB (Rule 4)
= A(1 + B)
= A · 1 (Rule 2)
= A
Rule 11 : A + A'B = A + B
A + A'B
= (A + AB) + A'B (Rule 10)
= (AA + AB) + A'B (Rule 7)
= AA + AB + AA' + A'B (Rule 8)
= (A + A')(A + B)
= 1 · (A + B)
= A + B
Rule 12 : (A + B)(A + C) = A + BC
(A + B)(A + C)
= AA + AC + BA +BC
= A(1 + C) + AB + BC
= A · 1 + AB + BC
= A(1 + B) + BC
= A · 1 +BC
= A + BC
DeMrgan's Theorems (드모르간 법칙)
1) (XY)' = X' + Y'
이러한 식은 NAND Gate가 Negative-OR-Gate와 동일하다는 성질과 같습니다.
2) (X + Y)' = X'Y'
이러한 식은 NOR Gate가 Negative-AND-Gate와 동일하다는 성질과 같습니다.
드모르간 법칙은 2개의 입력뿐 만 아니라 2개이상의 입력에 대해서도 동일하게 적용됩니다.
ex) (XYZ)' = X' + Y' + Z' | (X+Y+Z)' = X'Y'Z' | (XYZW)' = X' + Y' + Z' + W' | (X+Y+Z+W)' = X'Y'Z'W'
드모르간의 법칙을 응용할때, 결합된 변수가와도 법칙은 성립합니다.
만약 X = AB + C 이고 Y = A + BC 이면 (XY)' = X' + Y' 도 성립합니다.
ex) (XY)' = ((AB + C)(A + BC))'
= (AB + C)' + (A + BC)' (드모르간 제 1법칙)
= (AB)'C' + A'(BC)' (드모르간 제 2법칙)
= ('A + 'B)C' = A'(B' + C') (드모르간 제 1법칙)
X' + Y' = (AB + C)' + (A + BC)'
= (AB)'C' + A'(BC)' (드모르간 제2 법칙)
= (A' + B')C' + A'(B' + C') (드모르간 제 1법칙)