Lecture 8 (Boolean Algebara)

Boolean Operations and Expressions (불 대수 연산)

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Boolean Addition (덧셈)

덧셈은 OR 연산과 동일합니다.

ex) variables(A, B, C, D) Make A + 'B + C + D' equal to 0 (변수 A, B, C, D)를 0으로 만드세요.

A = 0                      A=0

B' = 0          =>       B = 1

C = 0                     C = 0

D' = 0                    D = 1

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Boolean Multiplication (곱셈)

곱셈은 AND 연산과 동일합니다.

ex) variables(A, B, C, D) Make AB'C'D equal to 1 (변수 A, B, C, D)를 1으로 만드세요.

A = 1                    A = 1

B' = 1          =>     B = 0  

C = 1                    C = 1

D' = 1                   D = 0

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Laws and Rules of Boolean Algebara (불 대수 법칙)

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Commutative Law (교환 법칙)

교환법칙은 3개의 변수에 대해서 성립합니다.

A + B = B + A

AB = BA

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Associative Law (결합 법칙)

결합 법칙은 3개의 변수에 대해서 성립합니다.

A + (B + C) = (A + B) + C

A(BC) = (AB)C

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Distributive Law (분배 법칙)

분배 법칙은 3개의 변수에 대해서 성립합니다.

A(B + C) = AB + AC

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Rule 1 : A + 0 = A

OR Gate에서 0이 1개라도 들어오면 출력으로 변수 그 자체가 나옵니다.

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Rule 2 : A + 1 = 1

OR Gate에서 1이 1개라도 들어오면 출력으로 1이 나옵니다.

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Rule 3 : A · 0 = 0

AND Gate에서 0이 1개라도 들어오면 출력으로 0이 나옵니다.

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Rule 4 : A · 1 = A

AND Gate에서 1이 한개라도 들어오면 출력으로 변수 그 자체가 나옵니다.

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Rule 5 : A + A = A

OR Gate에서 변수가 둘이 서로 같은게 인풋으로 들어오면 항상 그 변수가 출력됩니다.

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Rule 6 : A + A' = 1

OR Gate에서 입력의 변수가 서로 보수 이면 아웃풋으로 항상 1이 출력됩니다.

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Rule 7 : A · A = A

AND Gate에서 변수가 서로 같은게 인풋으로 들어오면 항상 그 변수가 출력됩니다.

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Rule 8 : A · A' = 0

AND Gate에서 변수가 서로 보수이면 아웃풋으로 항상 0이 출력됩니다.

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Rule 9 : A'' = A

변수에 이중 보수를 취해주면 항상 변수가 됩니다.

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Rule 10 : A + AB = A

   A + AB

= A · 1 + AB (Rule 4)

= A(1 + B)

= A · 1 (Rule 2)

= A

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Rule 11 : A + A'B = A + B 

    A + A'B

= (A + AB) + A'B (Rule 10)

= (AA + AB) + A'B (Rule 7)

= AA + AB + AA' + A'B (Rule 8)

= (A + A')(A + B)

= 1 · (A + B)

= A + B

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Rule 12 : (A + B)(A + C) = A + BC

  (A + B)(A + C)

= AA + AC + BA +BC

= A(1 + C) + AB + BC

= A · 1 + AB + BC

= A(1 + B) + BC

= A · 1 +BC

= A + BC

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DeMrgan's Theorems (드모르간 법칙)

1) (XY)' = X' + Y'

이러한 식은 NAND Gate가 Negative-OR-Gate와 동일하다는 성질과 같습니다.

 

2) (X + Y)' = X'Y'

이러한 식은 NOR Gate가 Negative-AND-Gate와 동일하다는 성질과 같습니다.

 

드모르간 법칙은 2개의 입력뿐 만 아니라 2개이상의 입력에 대해서도 동일하게 적용됩니다.

ex) (XYZ)' = X' + Y' + Z'   | (X+Y+Z)' = X'Y'Z'  | (XYZW)' = X' + Y' + Z' + W'  |  (X+Y+Z+W)' = X'Y'Z'W'

 

드모르간의 법칙을 응용할때, 결합된 변수가와도 법칙은 성립합니다.

만약 X = AB + C 이고 Y = A + BC 이면 (XY)' = X' + Y' 도 성립합니다.

ex) (XY)' = ((AB + C)(A + BC))' 

            = (AB + C)' + (A + BC)' (드모르간 제 1법칙)

            = (AB)'C' + A'(BC)' (드모르간 제 2법칙)

            = ('A + 'B)C' = A'(B' + C') (드모르간 제 1법칙)

 

 X' + Y' = (AB + C)' + (A + BC)'

           = (AB)'C' + A'(BC)' (드모르간 제2 법칙)

           = (A' + B')C' + A'(B' + C') (드모르간 제 1법칙)